Reasoning

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Direction and Distance Tests / दिशा और दूरी परीक्षण

Q59 2016, Direction and Distance Tests

A person climbs a hill in a straight path from point 'O' on the ground in the direction of north-east and reaches a point 'A' after travelling a distance of 5 km. Then, from the point 'A' he moves to point 'B' in the direction of north-west. Let the distance AB be 12 km. Now, how far is the person away from the starting point 'O'?

कोई व्यक्ति जमीन पर किसी बिंदु 'O' से सीधे रास्ते से उत्तर-पूर्व की दिशा में एक पहाड़ी पर चढ़ता है और 5 किमी. की दूरी तय करके बिंदु 'A' पर पहुंचता है। उसके बाद, वह बिंदु 'A' से उत्तर-पश्चिम की दिशा में बिंदु 'B' तक जाता है। AB की दूरी 12 किमी. है। अब वह व्यक्ति प्रारम्भिक बिंदु 'O' से कितनी दूर है ?

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Option B: 13 km
To solve this problem, we need to determine the distance between the starting point 'O' and the final point 'B'.
     Step-by-step Solution:
     ● Step 1: Understand the directions and distances.
           ○ The person starts at point 'O' and travels 5 km in the north-east direction to reach point 'A'.
           ○ From point 'A', the person travels 12 km in the north-west direction to reach point 'B'.
     ● Step 2: Break down the movements into components.
           ○ When moving north-east, the movement can be broken down into equal north and east components. Therefore, the north and east components from 'O' to 'A' are each \( \frac{5}{\sqrt{2}} \) km.
           ○ When moving north-west, the movement can be broken down into equal north and west components. Therefore, the north and west components from 'A' to 'B' are each \( \frac{12}{\sqrt{2}} \) km.
     ● Step 3: Calculate the total north and east/west components.
           ○ Total north component = \( \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{17}{\sqrt{2}} \) km.
           ○ Total east component = \( \frac{5}{\sqrt{2}} \) km.
           ○ Total west component = \( \frac{12}{\sqrt{2}} \) km.
     ● Step 4: Determine the net east-west component.
           ○ Since the person moves east from 'O' to 'A' and then west from 'A' to 'B', the net east-west component is:
         \[
         \text{Net east-west component} = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{12}{\sqrt{2}} = -\frac{7}{\sqrt{2}} \text{ km (west)}
         \]
     ● Step 5: Calculate the distance from 'O' to 'B'.
           ○ The distance from 'O' to 'B' can be found using the Pythagorean theorem:
         \[
         OB = \sqrt{\left(\frac{17}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{7}{\sqrt{2}}\right)^2}
         \]
         \[
         OB = \sqrt{\frac{289}{2} + \frac{49}{2}}
         \]
         \[
         OB = \sqrt{\frac{338}{2}}
         \]
         \[
         OB = \sqrt{169} = 13 \text{ km}
         \]
     Therefore, the person is 13 km away from the starting point 'O'.

Option B: 13 km To solve this problem, we need to determine the distance between the starting point 'O' and the final point 'B'.      Step-by-step Solution:      ● Step 1: Understand the directions and distances.
              ○ The person starts at point 'O' and travels 5 km in the north-east direction to reach point 'A'.            ○ From point 'A', the person travels 12 km in the north-west direction to reach point 'B'.      ● Step 2: Break down the movements into components.
              ○ When moving north-east, the movement can be broken down into equal north and east components. Therefore, the north and east components from 'O' to 'A' are each \( \frac{5}{\sqrt{2}} \) km.            ○ When moving north-west, the movement can be broken down into equal north and west components. Therefore, the north and west components from 'A' to 'B' are each \( \frac{12}{\sqrt{2}} \) km.      ● Step 3: Calculate the total north and east/west components.
              ○ Total north component = \( \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{17}{\sqrt{2}} \) km.            ○ Total east component = \( \frac{5}{\sqrt{2}} \) km.            ○ Total west component = \( \frac{12}{\sqrt{2}} \) km.      ● Step 4: Determine the net east-west component.
              ○ Since the person moves east from 'O' to 'A' and then west from 'A' to 'B', the net east-west component is:          \[          \text{Net east-west component} = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{12}{\sqrt{2}} = -\frac{7}{\sqrt{2}} \text{ km (west)}          \]      ● Step 5: Calculate the distance from 'O' to 'B'.
              ○ The distance from 'O' to 'B' can be found using the Pythagorean theorem:          \[          OB = \sqrt{\left(\frac{17}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{7}{\sqrt{2}}\right)^2}          \]          \[          OB = \sqrt{\frac{289}{2} + \frac{49}{2}}          \]          \[          OB = \sqrt{\frac{338}{2}}          \]          \[          OB = \sqrt{169} = 13 \text{ km}          \]      Therefore, the person is 13 km away from the starting point 'O'.

व्याख्या Please wait..

विकल्प B: 13 किमी
इस समस्या को हल करने के लिए, हमें प्रारंभिक बिंदु 'O' और अंतिम बिंदु 'B' के बीच की दूरी निर्धारित करनी होगी।
     चरण-दर-चरण समाधान:
     ● चरण 1: दिशाओं और दूरियों को समझें।
           ○ व्यक्ति बिंदु 'O' से शुरू करता है और 5 किमी उत्तर-पूर्व दिशा में यात्रा करता है और बिंदु 'A' पर पहुँचता है।
           ○ बिंदु 'A' से, व्यक्ति 12 किमी उत्तर-पश्चिम दिशा में यात्रा करता है और बिंदु 'B' पर पहुँचता है।
     ● चरण 2: आंदोलनों को घटकों में विभाजित करें।
           ○ उत्तर-पूर्व की ओर बढ़ते समय, आंदोलन को समान उत्तर और पूर्व घटकों में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, 'O' से 'A' तक उत्तर और पूर्व घटक प्रत्येक \( \frac{5}{\sqrt{2}} \) किमी हैं।
           ○ उत्तर-पश्चिम की ओर बढ़ते समय, आंदोलन को समान उत्तर और पश्चिम घटकों में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, 'A' से 'B' तक उत्तर और पश्चिम घटक प्रत्येक \( \frac{12}{\sqrt{2}} \) किमी हैं।
     ● चरण 3: कुल उत्तर और पूर्व/पश्चिम घटकों की गणना करें।
           ○ कुल उत्तर घटक = \( \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{17}{\sqrt{2}} \) किमी।
           ○ कुल पूर्व घटक = \( \frac{5}{\sqrt{2}} \) किमी।
           ○ कुल पश्चिम घटक = \( \frac{12}{\sqrt{2}} \) किमी।
     ● चरण 4: शुद्ध पूर्व-पश्चिम घटक निर्धारित करें।
           ○ चूंकि व्यक्ति 'O' से 'A' तक पूर्व की ओर बढ़ता है और फिर 'A' से 'B' तक पश्चिम की ओर बढ़ता है, इसलिए शुद्ध पूर्व-पश्चिम घटक है:
         \[
         \text{शुद्ध पूर्व-पश्चिम घटक} = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{12}{\sqrt{2}} = -\frac{7}{\sqrt{2}} \text{ किमी (पश्चिम)}
         \]
     ● चरण 5: 'O' से 'B' तक की दूरी की गणना करें।
           ○ 'O' से 'B' तक की दूरी पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean theorem) का उपयोग करके पाई जा सकती है:
         \[
         OB = \sqrt{\left(\frac{17}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{7}{\sqrt{2}}\right)^2}
         \]
         \[
         OB = \sqrt{\frac{289}{2} + \frac{49}{2}}
         \]
         \[
         OB = \sqrt{\frac{338}{2}}
         \]
         \[
         OB = \sqrt{169} = 13 \text{ किमी}
         \]
     इसलिए, व्यक्ति प्रारंभिक बिंदु 'O' से 13 किमी दूर है

विकल्प B: 13 किमी इस समस्या को हल करने के लिए, हमें प्रारंभिक बिंदु 'O' और अंतिम बिंदु 'B' के बीच की दूरी निर्धारित करनी होगी।      चरण-दर-चरण समाधान:      ● चरण 1: दिशाओं और दूरियों को समझें।            ○ व्यक्ति बिंदु 'O' से शुरू करता है और 5 किमी उत्तर-पूर्व दिशा में यात्रा करता है और बिंदु 'A' पर पहुँचता है।            ○ बिंदु 'A' से, व्यक्ति 12 किमी उत्तर-पश्चिम दिशा में यात्रा करता है और बिंदु 'B' पर पहुँचता है।      ● चरण 2: आंदोलनों को घटकों में विभाजित करें।            ○ उत्तर-पूर्व की ओर बढ़ते समय, आंदोलन को समान उत्तर और पूर्व घटकों में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, 'O' से 'A' तक उत्तर और पूर्व घटक प्रत्येक \( \frac{5}{\sqrt{2}} \) किमी हैं।            ○ उत्तर-पश्चिम की ओर बढ़ते समय, आंदोलन को समान उत्तर और पश्चिम घटकों में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, 'A' से 'B' तक उत्तर और पश्चिम घटक प्रत्येक \( \frac{12}{\sqrt{2}} \) किमी हैं।      ● चरण 3: कुल उत्तर और पूर्व/पश्चिम घटकों की गणना करें।            ○ कुल उत्तर घटक = \( \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{17}{\sqrt{2}} \) किमी।            ○ कुल पूर्व घटक = \( \frac{5}{\sqrt{2}} \) किमी।            ○ कुल पश्चिम घटक = \( \frac{12}{\sqrt{2}} \) किमी।      ● चरण 4: शुद्ध पूर्व-पश्चिम घटक निर्धारित करें।            ○ चूंकि व्यक्ति 'O' से 'A' तक पूर्व की ओर बढ़ता है और फिर 'A' से 'B' तक पश्चिम की ओर बढ़ता है, इसलिए शुद्ध पूर्व-पश्चिम घटक है:          \[          \text{शुद्ध पूर्व-पश्चिम घटक} = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{12}{\sqrt{2}} = -\frac{7}{\sqrt{2}} \text{ किमी (पश्चिम)}          \]      ● चरण 5: 'O' से 'B' तक की दूरी की गणना करें।            ○ 'O' से 'B' तक की दूरी पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean theorem) का उपयोग करके पाई जा सकती है:          \[          OB = \sqrt{\left(\frac{17}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{7}{\sqrt{2}}\right)^2}          \]          \[          OB = \sqrt{\frac{289}{2} + \frac{49}{2}}          \]          \[          OB = \sqrt{\frac{338}{2}}          \]          \[          OB = \sqrt{169} = 13 \text{ किमी}          \]      इसलिए, व्यक्ति प्रारंभिक बिंदु 'O' से 13 किमी दूर है

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Ancient History / प्राचीन इतिहास

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